SMK 37 Jakarta Math Teacher

January 23, 2008

PROGRAM LINIER

Filed under: Materi Kls XI — dzaitun @ 2:42 pm
Tags: , , , , ,

 A.    Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan Linier

Contoh 1:   Tunjukanlah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem

pertidaksamaan

2x + y  £  6

x   ³  0

y  ³  0, untuk x,y Î R

Penyelesaian:

  • Buat garis x = 0 , yang merupakan sumbu y

Daerah yang memenuhi adalah daerah di sebelah kanan sumbu y

  • Buat garis y = 0 yang merupakan sumbu x

Daerah yang memenuhi adalah daerah di atas sumbu x

  • Lukislah gtafik 2x + y = 6 dengan cara mencari titik-titik potong dengan sumbu koordinat è jika x = 0 maka y = 6 → (0,6)

è jika y = 0 maka  x = 3  →  (3,0)

                  Ujilah titik (0,0) è  2.0 + 0  <  6  ternyata (0,0) memenuhi

  • Gambar grafiknya dalam koordinat kartesius sehingga terlihat himpunan penyelesaiannya adalah daerah OAB

y

                  B   6

                  O                3                    x

A

Contoh 2:   Gambarlah grafik  himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem

pertidaksamaan

3x  + 2y  ³  12

x  + 2y  ³   6

x   ³  0

y  ³  0, untuk x,y Î R

Penyelesaian:

  • Lukis garis  3x + 2y = 12           untuk x = 0 maka y = 6

untuk y = 0 maka  x = 4

Jadi garis tersebut melalui titik ( 0,6 )  dan ( 4,0 )

  • Lukis garis  x + 2y =  6              untuk x = 0 maka y = 3

untuk y = 0 maka  x = 6

Jadi garis tersebut melalui titik ( 0,3 )  dan ( 6,0 )

  • Grafik kedua garis diatas adalah sbb:

               y

6                                                                                                           Dengan menguji titik ( 0,0 ) pada              

Pertidaksamaan  3x  + 2y  ³  12 dan

                                                                         x  + 2y  ³   6  maka titik ( 0,0 ) tidak

3                                                       memenuhi maka daerah penyelesaiannya

adalah daerah yg diarsir

x

4      6

B.    Menentukan titik Optimum ( Maksimum/minimum)

Contoh 1:  Tentukan titik titik optimum dari system pertidaksamaan linier berikut

2x  + 4y  £  16

x  +   y  £   5

x   ³  0

y  ³  0, untuk x,y Î R

Penyelesaian:

  • Lukis garis  2x + 4y = 16           untuk x = 0 maka y = 4

untuk y = 0 maka  x = 8

Jadi garis tersebut melalui titik ( 0,4 )  dan ( 8,0 )

  • Lukis garis  x + y =  5               untuk x = 0 maka y = 5

untuk y = 0 maka  x = 5

Jadi garis tersebut melalui titik ( 0,5 )  dan ( 5,0 )

  • Grafik kedua garis diatas adalah sbb:

               y

7                                                                                                           Dengan menguji titik ( 0,0 ) pada              

Pertidaksamaan  2x  + 4y  £  16 dan

                5                                                       x  + y  £  5  maka titik ( 0,0 )    

        C (0,4)                                                     memenuhi, maka daerah penyelesaiannya

B                                              adalah seperti pada daerah arsiran

A                    x

O             (5,0)        8

Titik potong kedua garis :

2x + 4y = 16  | x1 |   2x + 4y = 16                x + y = 5

x  +  y  = 5   | x2 |   2x + 2y  = 10  -           x + 3 = 5

2y  =  6                    x = 2

y = 3

Jadi  titik-titik optimumnya adalah  O (0,0) , A(5,0 ) , B (2,3 ) , C( 0, 4)

 

Contoh2:   Diketahui sebuah daerah himpunan penyelesaian OABC  yang digambarkan

pada grafik di bawah ini dengan koordinat titik-titiknya:  O(0,0),  A(7,0),

B(4,5) dan C(0,7).  Tentukanlah nilai maksimum dari fungsi objektif

Z = 3x + y pada daerah OABC  tersebut

                   C

                           B

A

               O          

Penyelesaian:

Nilai  0ptimum terletak pada  titik -titik sudut dari daerah penyelesaian, sehingga carilah nilainya untuk setiap titik tsb.

  • Untuk titik O (0,0) è z = 3.0 + 0 = 0
  • Untuk titik A (7,0) è z = 3.7 + 0 = 21
  • Untuk titik B (4,5) è z = 3.4 + 5 = 17
  • Untuk titik C (0,7) è z = 3.0 + 7 = 7

Jadi  nilai maksimum dari  Z = 3x + y  adalah  21 di titik  A (7,0)

 

C. Model Matematika

Contoh:

Seorang ibu membuat 2 jenis roti dari bahan yang tersedia yaitu  5,5 kg tepung terigu dan 2 kg mentega.  Roti jenis I tiap buah memerlukan 200 gram tepung terigu dan 75 gram mentega sedangkan roti jenis II tiap buah memerlukan 150 gram tepung terigu dan 50 gram mentega.

a.       Buatlah model matematika  dari permasalahan di atas.

b.      Jika ibu menjual Roti I  dengan harga Rp 1000  dan Roti II seharga Rp 750 maka hitunglah berapa buah Roti I dan Roti II yang harus dibuat agar penghasilan ibu maksimum.

Penyelesaian:

a.  Misal,          Roti I  = x   dan   Roti II = y

   Roti I (x)  Roti II (y)  
Terigu   200 g     150 g 5,5 kg =  5500 g
Mentega    75 g       50 g   2 kg  = 2000g

Berdasarkan table diatas,  maka model matematikanya adalah:

200x  +   150 y  £   5.500

75x  +    50y    £   2.000

x   ³  0

y   ³  0

b.  Fungsi objektifnya adalah  Z = 1000x + 750y

Kita sederhanakan dulu model matematika di atas menjadi:

4x +  3y  £  110

3x  + 2y  £    80

x   ³  0

y  ³  0

Kita cari  daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan di atas:

  • 4x + 3y = 110 è Untuk x = 0 maka y = 36,7 → (0, 36,7)

Untuk y = 0 maka x = 27,5  →   (27,5  ,0)

 

  • 3x + 2y = 80 è Untuk x = 0 maka y = 40 → (0, 40)

Untuk y = 0 maka x = 26,6 →   (26,6   ,0)

  • Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y =80 adalah

4x + 3y = 110 | x 2 |  8x + 6y  = 220

3x + 2y =  80  | x 3 |  9x + 6y  = 240    -

-x  =  -20

x  =  20

è 3x + 2y = 80

3.20 + 2y = 80

60 + 2y =  80 → 2y = 20 → y = 10

  • Gambar grafik himpunan penyelesaian

                                                        Daerah himpunan penyelesaiannya adalah

     R                                                 daerah OPQR dengan titik-tik optimumnya:

O(0,0), P(26,7 , 0), Q(20,10) dan R(0, 36,7)

Q

O           P

  • Nilai objektif   z = 1000x + 750y ;

Untuk O (0,0)     à z  = 0

Untuk P (26,0)   à z  =   1000. 26  +  750. 0     =  26.000

Untuk Q (20,10) à z  =   1000. 20  +  750. 10   =  27.500

Untuk R (0,36)   à z  =   1000. 0    +  750. 36   =  27.000

Catatan:  Untuk titik  P dan R, kita ambil bilangan bulat karena banyaknya roti tidak

Mungkin pecahan.

Jadi agar mendapat penghasilan  maksimum yaitu Rp 27.500 maka  ibu harus membuat 20 buah roti I dan 10 buah roti II.

LATIHAN

1.  Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan berikut:

    a.  3x + 2y  £  18                        b.   5x  + 3y  ³  15

x  ³ 0                               2x + 3y  ³  12

y  ³ 0                                         x   ³  0

y  ³  0,

c.  2x +  4y  £ 16                       d.  3x +  5y  £   25

2x  +  y  £  10                           4x  + 2y  £   24

x   ³  0                                       x   ³  0

y   ³  0                                       y   ³  0

  1. Tentukan titik-titik optimum dari daerah penyelesaian pada soal no.1 diatas
  1. Tentukan nilai minimum dari fungsi objektif  Z = 3x + 4y pada soal no.1b
  1. Tentukan nilai maksimum dari fungsi objktif  Z =  5x + 2y pada soal no.1d
  1. Tentukan nilai minimum fungsi objektif  f(x,y)  =  4x + 3y dari sitem pertidaksamaan:

2x + y   ³  11

x  + 2y  ³  10

x    ³  0

y   ³  0

6.  Seorang pedagang ingin membeli lemari dan rak buku tidak lebih dari 15 buah.

Jika harga sebuah lemari Rp 150.000, harga sebuah rak buku Rp 100.000, dan

uang yang tersedia Rp 1.800.000,00 . Jika banyak lemari yang dibeli x buah

serta  rak buku y buah maka tuliskan model matematikanya

7. Tempat parkir seluas 360 m2  dapat menampung tidak lebih dari 30 kendaraan.

Untuk parkir sebuah sedan diperlukan rata-rata 6 m2, sedangkan untuk sebuah bus

diperlukan 24 m2 . Jika banyaknya sedan dinyatakan dengan x dan bus dengan y,

maka buatlah model matematikanya

  1. Seorang pemborong pengecatan rumah mempunyai persediaan 80 kaleng cat berwarna putih dan 60 kaleng vat berwarna abu-abu. Pemborong tersebut mendapat tawaran untuk mengecat ruang tamu dan ruang tidur. Setelah dihitung ternyata 1 ruang tamu menghabiskan 2 kaleng cat putih dan 1 kaleng cat abu-abu, sedangkan ruang tidur menghabiskan cat masing-masing warna sebanyak

1 kaleng. Jika banyak ruang tamu dinyatakan dengan x dan ruang tidur dengan y, maka tentukan model matematikanya.

  1.  Ibu Siti mempunyai persediaan 4 kg terigu dan 1,2 kg mentega. Ia ingin membuat roti jenis A dan roti jenis B. Untuk membuat roti jenis A diperlukan terigu 100 g dan mentega 50 g, sedangkan roti jenis B diperlukan terigu 150 g dan mentega 25 g.  Jika roti jenis A di jual dengan harga Rp 1.500 dan roti jenis B dengan harga Rp 1.000 maka tentukan:

a.       Model matematika dari permasalahan di atas

b.      Grafik daerah penyelesaian system pertidaksamaan linier nya

c.       Titik-titik optimum nya

d.      Fungsi objektif nya (Z)

e.      Pendapatan maksimum Ibu Siti dari hasil penjualan kedua jenis roti tsb

  1. Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 76

orang dengan kapasitas bagasi tidak lebih dari 2.400 kg. Penumpang kelas utama

dapat membawa bagasi seberat 40 kg dan kelas ekonomi 20 kg. Jika harga tiket

kelas utama Rp 300.000 per orang dan harga tiket kelas ekonomi Rp 200.000

per orang, maka hitunglah banyaknya penumpang setiap kelas agar hasil

penjualan tiket maksimum

 

About these ads

Leave a Comment »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

The Rubric Theme Blog at WordPress.com.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: